1. 多级数列

对相邻两项进行四则运算（做差，做商，做和），进行一次或两次运算。

若呈平稳递增趋势，可尝试使用倒三角法寻找规律。

有时做差和做商交替使用。

结果可能是等差或等比数列，也可能是质数数列。

2. 分组数列

• 奇数项和偶数项分别呈一定规律（有时候一组明显，一组不明显，不明显的依赖明显的）；
• 相邻分组数列（两两分组或三三分组）

3. 递推数列

加减乘除倍方

• 看趋势：从大的数字开始看；
• 做试探
• 修正项
  • 修正项是简单数列
  • 修正项与数列前项相关

数列中间出现一个莫名其妙的负数，可考虑递推做和或者分组作和。

4. 幂次数列

• 幂次数列的修正数列
• 幂次数列与等差数列或指数数列的和
• 幂次数列被正负交替数列修正

5. 分数数列

• 分组看待：分别观察分子分母规律；
• 约分：把非最简分数化为最简分数；
• 广义通分：将分母（或分子）化成相同的数；
• 有理化：当分子或分母含有根式时，将其有理化；
• 反约分：将分子或分母适当扩大倍数；
• 整数化分数。

1. 比值混合问题

售价15元/千克的白糖，取其中一部分加水溶解形成浓度为20%的糖水12kg，然后将剩余白糖全部加入溶解，变为25%，问购买白糖多少元钱？

知道单位价格，只需要算白糖一共多少克千克。

先取出白糖12*0.2=2.4千克，设剩余白糖x

$$\frac{x+2.4}{12+x}=0.25$$

解得x=0.8，一共3.2kg，总价3.2*15=48元。

2. 年份问题

某人出生于20世纪70年代，某年他发现从当年起连续10年自己的年龄均与当年年份数字之和相等（出生当年算0岁）。问他在一下哪一年时，年龄为9的整数倍？

首先算出他是哪年出生的。只有可能是从1990~1999年这十年满足，所以他是1971年人。所以是2007年。

计算年份与生日时，不需要+1，直接做相加减即可。

3. 日期问题

某办公室四人在工作日每天轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水。7月5日周五轮到小玲打扫卫生，下次小玲给植物浇水是哪天？

5个工作日，4个人打扫，则对每个人来说，值日的星期数每次减1。小玲是星期5,4,3,2,1. 则是3周多3天，共24天，则是7月29日。

某政府机关甲乙两部门发布消息，甲部门每隔两天，乙部门每个三天，节假日无休。问甲乙两部门一个自然月内最多几天同时发布？

甲每隔2天，则每3天发一次，乙每隔3天，则每4天发一次；公倍数为12，一个月最多3次。

4. 最小公倍数问题

200mL沐浴露每箱20瓶，500mL沐浴露每箱12瓶，分别定价14元和25元，货品卖完后收入相同，问200mL最少几箱？

$$20\ast 14=280，12\ast 25=300$$

则找280和300的最小公倍数，他们的最大公约数是20，则200mL应该多乘个15.所以有15箱。

5. 概率类问题

3道每道10分甲类题，2道每道20分乙类题，1道30分丙类题。参赛者随机选择部分试题并全部答对，最终得分70分，问未选择丙类题的概率是多少。

$$x+2y+3z=7$$

• 如果z=0，则x=3,y=2，只有一种情况；
• 如果z=1
  • 可以是y=2,x=0，只有一种情况；
  • 可以是x=2,y=1，有C32*C21=6种情况；

所以是1/8

6. 成本利润问题

$$成本=售价/(1+利润率)折扣=实际售价/定价$$

老王投资一件艺术品，上涨50%，为尽快出手，老王按市价8折出售，扣除成交价5%的交易费后，与买进时相比赚了7万元。

题干中出现大量百分数，用赋值法

假定进价100，利润50，定价150，八折后120，交易费6，实际售价114，净利润14，相当于7万，所以进价100相当于50万。

7. 排列组合问题

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

$$A_n^n=n!$$

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

8. 图形面积计算问题

充分利用相似三角形的性质：

1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

9. 生产线问题

三要素：时间，效率，工作量

当题目中值给出时间时，赋值总工作量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方法。总工作量赋值成时间的最小公倍数。

当效率成倍数时，赋值效率。

甲组单独做需要10小时，乙组单独做需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分钟，完成时甲组比乙组多做300个，问一共多少个？

甲、乙每小时分别完成总工作量1/10,1/15，甲在乙休息的1小时40分（合5/3小时）中完成了5/3*1/10=1/6，则甲乙同时工作时共同完成5/6，则甲乙共同工作时间为5/6/(1/10+1/15)=5小时，在此过程中甲比乙多做5*(1/10-1/15)=1/6，则全过程甲比乙多做1/3，合300个，所以一共900个。

工厂有5条效率不同的生产线，某项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天，最慢需要12天；5条一起加工，需要5天。如果所有生产线产能扩大一倍，任选2条生产线一起加工最多需要多少天？

设工作总量为6和5的最小公倍数30.设生产效率从高到低为ABCDE。任选两条生产线，则选DE的加工时间最长。

A+B+C=5

A+B+C+D+E=6

则D+E=1，产能扩大一倍为2，则需要15天。

10. 空间点与平面关系问题

某次军事演习中，一架无人机对三个地面目标侦查。一直三目标点在地面上的连线为直角三角形，两个点之间最远距离为600.问无人机同时与三个点保持500米距离时，其飞行高度为多少米？

空间中到平面上三点距离都相等的点在三角形的外接圆圆心。直角三角形外接圆圆心在斜边中点。所以飞行高度为400。

11. 尾数计算问题

乘方尾数：底数只留个位数，指数除以4留余数，余数为0换成4.所得新数的位数即为原数的位数。

2012的2012次方尾数

底数末尾数字为2，指数2012能被4整除，只需计算2的4次方，尾数是6.

12. 因子分析

所谓因子，即是公约数。加减法或乘法计算结果一定包含每部分的公共因子。除法计算时公共因子被消掉以降低计算难度。

常见的因子分析是3因子或9因子判定

1005*10061006-1006*10051005=0

1005与10051005都是3的倍数，结果也一定是3的倍数。

13. 基本公式

平方差公式：

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

裂项公式：

$$\frac{b}{m\ast (m+a)}=\frac{b}{a}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+a})$$

分母有理化：

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

14. 整体代换法

重复出现的部分看作一个整体，用字母代替；先不计算整体内部的细节，而是采用整体计算的方法

15. 定义新运算

16. 集合类问题

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$$

某班60人，参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，两科都没参加20人。问同时参加物流和数学竞赛多少人。

设两科都参加x人。

$$32+30-x=60-20$$

某公司招聘员工，按规定每人至多报考两个职位，共42人报名。甲乙丙三个职位报考人数分别是22,16,25.其中同时报甲乙人数为8，同时报甲丙人数为6，问同时报乙丙人数为多少。

设同时报乙丙人数为x

$$42=22+16+25-8-6-x+0$$

17. 行程问题

$$路程=速度\ast 时间$$

$$路程比例=速度比例\ast 时间比例$$

• 时间相同，路程比等于速度比；
• 速度相同，路程比等于时间比；
• 路程相同，速度比等于时间反比。

等距离平均速度公式：

$$v=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$$

以不同速度两次通过某特定路程

等间隔发车时间公式，t1与t2经历路程相同

$$发车时间间隔=\frac{2t_1{t}_2}{t_1+t_2}$$